「POJ-3041」Asteroids (最小点覆盖)

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「POJ-3041」Asteroids
二分图匹配问题，行列覆盖模型+最小点覆盖

题意

给定一个n×n的矩阵，矩阵中的某些点为小行星，每次可以消除一行或一列的小行星，问消除全部小行星所需的最小次数。

解法

对于矩阵中某个存在障碍的点，若要消除该点，则需要让该点被所在的行/列攻击覆盖。若全部障碍点都被行/列攻击覆盖，则全部障碍都被消除。

根据障碍点坐标建立二分图。对于原矩阵，将每行x看做一个X节点，将每列y看做一个Y节点。此时，边$x→y$代表一个障碍点。

问题转化为：如果选择了一个节点，就相当于覆盖了以它为端点的所有边，如何选择最少的节点，使二分图中所有边都被覆盖。即二分图的最小点覆盖。

对于此问题，我们有结论：

König定理：二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。

套用匈牙利算法求解最大匹配数即可。

代码

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#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn=500+10;

int n;
int edge[maxn][maxn];
int linker[maxn];
bool vis[maxn];

bool path(int u)
{
    for(int v=1;v<=n;v++)
    {
        if(edge[u][v]&&!vis[v])
        {
            vis[v]=true;
            if(linker[v]==-1||path(linker[v]))
            {
                linker[v]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int hungary()
{
    int res=0;
    memset(linker,0xff,sizeof(linker));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
            memset(vis,false,sizeof(vis));
            res+=path(i);
    }
    return res;
}

int main()
{
    int k,u,v;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        memset(edge,0,sizeof(edge));
        while(k--)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            edge[u][v]=1;
        }
        printf("%d\n",hungary());
    }
    return 0;
}